martedì 25 luglio 2017

232. 1642 e 1879


Gli anni 1642 e 1879 hanno una cosa in comune inerente la storia della Fisica.

Gli anni 1492 o il 1789 (scoperta dell’America e rivoluzione francese), sono certamente più noti e potrebbero essere confusi con i precedenti, ma io intendo proprio i 2 anni del titolo, e, per inquadrarne meglio il contesto storico, comincerò con il racconto di alcuni eventi accaduti in questi 2 anni.

Il 13 giugno 1642 a Milano un terremoto fece crollare il campanile di S. Stefano e nel crollo del campanile vengono distrutte anche la vicina chiesa di S. Bernardino con l'annesso ossario. La chiesa venne ricostruita dal Buzzi negli anni successivi. Nei miei ricordi di bambino, rimangono impresse le visite e le macabre visioni delle pareti interne dell'edificio, a pianta quadrata, ricoperte di teschi ed ossa che si trovavano nell'antico ossario, disposte nelle nicchie, sul cornicione e sui pilastri. Questo senso macabro si fonde elegantemente con la grazia del rococò.


Nel 1642 venne inventata la Pascalina o calcolatore meccanico, da parte del matematico francese Blaise Pascal. Aveva inizio la Guerra Civile Inglese ed era in corso la Guerra dei trent’anni.

Nel 1879 l’americano Thomas Alva Edison migliorò la lampadina inventata l’anno precedente da Joseph Wilson Swan, costituita da uno spesso filamento di carbonio che, riscaldandosi, emetteva luce e gas. Edison brevettò una lampadina con un filamento sottile e ad alta resistenza elettrica. Tra i due inventori, nacque una disputa sulla paternità dell'invenzione. La contesa finì anni dopo con la creazione della società Edison-Swan che divenne una delle più grandi produttrici mondiali di lampadine. Nel 1910 il fisico americano William David Coolidge sostituì il filamento di carbonio con uno di tungsteno immerso in un gas, realizzando in questo modo una lampadina che durava molto di più e che, quasi inalterata, è arrivata fino ai giorni nostri. Nello stesso anno, in Arizona, davano la caccia a Billy the Kid.
Ma, in sintonia con gli argomenti trattati in questo blog, gli anni 1642 e 1879 hanno in comune il passaggio del testimone tra 2 coppie dei maggiori fisici mai esistiti:

 

Galileo Galilei           (15 febbraio 1564 – 8 gennaio 1642)

Isaac Newton          (25 dicembre 1642 – 20 marzo 1727)

 

James Clerk Maxwell        (13 giugno 1831 – 5 novembre 1879)

Albert Einstein                    (14 marzo 1879 – 18 aprile 1955)

 

I volti di Galilei, Newton e Einstein, credo che siano molto noti, mentre non tutti avranno presente una foto di Maxwell, che potete però facilmente trovare in Wikipedia:

Il giovane Maxwell durante il periodo universitario al Trinity College di Cambridge



Nella sua breve vita, Maxwell produsse diversi importanti lavori, il più famoso dei quali è probabilmente quello legato all'elettromagnetismo. Il fisico scozzese unificò i lavori sull'elettricità e il magnetismo di Carl Friedrich Gauss, Michael Faraday, André-Marie Ampere e di molti altri in una serie di 20 equazioni differenziali, che furono successivamente ridotte a 4. Note come equazioni di Maxwell, tali equazioni furono presentate alla Royal Society nel 1864; insieme descrivono il campo elettrico e quello magnetico, e le loro interazioni con la materia.

Le equazioni prevedono l'esistenza di onde elettromagnetiche, ossia di oscillazioni del campo elettromagnetico. Maxwell cercò, sulla base dei dati disponibili all'epoca, di misurare sperimentalmente la velocità di queste onde, ottenendo il risultato di 310.740.000 m/s. Nel 1865 scriveva: «Questa velocità è così vicina a quella della luce che ho ragione di supporre che la luce stessa sia un'onda elettromagnetica»

Maxwell era nel giusto e la successiva scoperta sperimentale delle onde elettromagnetiche per opera di Hertz fu uno dei trionfi assoluti della Fisica dell’ottocento. Come detto più sopra, quando Maxwell elaborò la teoria dell’elettromagnetismo, descrisse il comportamento di campi elettrici e magnetici non con 4, ma con 20 equazioni:
Le prime 6 equazioni erano suddivise nelle loro 3 componenti Cartesiane.

Furono Oliver Heaviside in Gran Bretagna e Heinrich Rudolf Hertz in Germania che semplificarono le equazioni di Maxwell nei 2 decenni successivi alla sua morte.








 

Quaternioni
Seguendo un percorso completamente diverso, nel 1843 William Rowan Hamilton introdusse i quaternioni, entità pensate originariamente per rappresentare le rotazioni in 3 dimensioni in analogia con la rappresentazione delle rotazioni in 2 dimensioni per mezzo dei numeri complessi. Tre anni dopo, nel 1846, Hamilton pubblicò un articolo in cui introduceva i termini di scalare e vettoriale per riferirsi a parte reale e immaginaria dei quarternioni. Dal 1865 al 1880 i quaternioni cominciarono ad affermarsi nel mondo scientifico, mentre l’opera di Hermann Gunther Grassmann passava sostanzialmente sotto silenzio. Nel 1873 James Clerk Maxwell pubblicò il suo Treatise on electricity and magnetism, opera fondamentale per l’elettromagnetismo. Benché durante il suo lavoro Maxwell non avesse mai fatto uso dei quaternioni, questi erano ormai molto diffusi, perciò decise di presentare molti dei suoi risultati in questa forma oltre a quella cartesiana. Nel 1877, William Kingdon Clifford pubblicò il suo Elements of Dynamic, un trattato di meccanica. Al capitolo intitolato ‘Prodotti di due vettori’, Clifford definisce le operazioni di ‘prodotto vettore’ e ‘prodotto scalare’, combinando in pratica le diverse impostazioni di Hamilton e di Grassmann (Clifford fu uno dei pochi matematici del tempo a conoscere entrambi i metodi). Sebbene Clifford resti ancora legato ai quaternioni, nel suo lavoro il prodotto tra queste entità viene scisso del tutto in due parti, ognuna delle quali viene trattata come un prodotto separato. Nel 1881, Josiah Willard Gibbs terminò la stesura della prima metà dei suoi Elements of Vector Analysis, ad uso degli studenti, in cui esponeva quello che è essenzialmente il moderno sistema di analisi vettoriale; la seconda parte verrà stampata nel 1884. In una lettera a Schlegel del 1888, Gibbs afferma di aver sviluppato la nuova teoria a seguito della lettura del Treatise on electricity and magnetism di Maxwell, dove i quaternioni erano largamente utilizzati.
Tratto dalla Tesi di Laurea di: Carlo Andrea GONANO – “Estensione in N-Dimensioni di prodotto vettore e rotore e loro applicazioni”




I quaternioni sono entità introdotte come estensioni dei numeri complessi.

Un quaternione è un elemento scrivibile come:

a + b i + c j + d k

con a, b, c  e  d   numeri reali ed  i, j, k  simboli letterali.
Il prodotto di 2 quaternioni è definito tenendo conto delle relazioni:

i2  =   j2  =  k2  =  i j k =  − 1,

che implicano in particolare le relazioni seguenti:

i j   =   k
j k  =   i
k i  =   j
j i   =  − k
k j  =  − i
i k  =  − j
 

















Per finire consiglio un libro di recente pubblicazione:



domenica 18 giugno 2017

231. Lancette allineate


Il giorno siderale (o sidereo) è il tempo che intercorre tra due passaggi consecutivi della medesima stella al meridiano di un determinato luogo terrestre e ha una durata di 23 ore, 56 minuti e 4,0905 secondi. Esso è il periodo del moto diurno di rotazione della sfera celeste, nonché del moto di rotazione della Terra rispetto alla posizione media delle stelle visibili.
Gli altri quasi 3 minuti e 56 secondi che mancano alle 24 ore del giorno solare medio (che rappresenta la media aritmetica di tutti i giorni solari di un anno) sono necessari per raggiungere il Sole, che nel frattempo si è mosso rispetto alle stelle fisse.

Ebbene, se dividete la durata del giorno siderale per il tempo che manca alle 24 ore, ottenete 365,2421394645... che corrisponde al numero di giorni che ci sono in un anno solare. Riassumo i vari conti in tabella:


Come noto, per convenzione gli anni sono formati da un numero intero di giorni: 365 o 366 se bisestili. La parte decimale (0,2421394645...) di giorni nell'anno solare determina quanti anni bisestili si devono predisporre. Per chiarire meglio, se tutti gli anni fossero di 365 giorni, ogni 4 anni avanzerebbe circa un giorno; questo si risolve ponendo un anno bisestile ogni 4. Ma visto che l’avanzo è un po’ meno di 1 giorno, il primo anno di ogni secolo si salta l’anno bisestile, e infine, siccome avanza ancora un pochino, ogni 4 secoli l’ultima regola non vale. Per cui è stato bisestile l’anno 2000, ma non lo saranno gli anni 2100, 2200 e 2300.


Una cosa analoga avviene con le lancette di un orologio. Se si considera solo la lancetta dei minuti, questa ritorna alla posizione di partenza dopo un’ora esatta, ma se invece ci chiediamo ogni quanto le 2 lancette si sovrappongono, il calcolo non è così immediato.


Ci sono diversi modi per risolvere il problema. Quello più semplice è notare che, per esempio, se si parte da mezzogiorno, la prima volta le lancette saranno sovrapposte poco dopo la 1 e 5 minuti, poi dopo le 2:10, ecc. Ad ogni ora si posticipa di almeno 5 minuti e come risultato si ottiene che in 12 ore si hanno solo 11 sovrapposizioni.

Lista degli orari delle 11 sovrapposizioni in 12 ore (esclusa quella alla partenza):

 01:05:27

 02:10:55

 03:16:22

 04:21:49

 05:27:16

 06:32:44

 07:38:11

 08:43:38

 09:49:05

 10:54:33

 12:00:00

Primi 4 allineamenti










Riassumendo. Le lancette delle ore e dei minuti si allineano esattamente 11 volte ogni 12 ore. In 12 ore ci sono 12 ore  x  60 min/ora  x  60 sec/min  =  43.200 secondi. Da cui si ricava: 43.200/11 = 3.927,2727 sec, che equivalgono a 1 ora, 5 minuti e 27,2727 secondi.






 

domenica 7 maggio 2017

230. Vite parallele: Escher - Penrose


Le Vite parallele di Plutarco sono una serie di biografie di uomini celebri scritte sulla fine del I secolo d.C. e riunite in coppie per mostrare vizi o virtù morali comuni ad entrambi e consistono di ventidue coppie di biografie, di norma narranti le vite di un uomo greco e di uno romano. Il “parallelo” con il titolo di questo post finisce qui; infatti le vite a cui si fa riferimento, sono di 2 persone nate e scomparse a pochi giorni di distanza l’uno dall’altro. Il comune interesse per le “Strutture Paradossali”, li accomunò verso la fine degli anni ’50, anche se con motivazioni differenti: psicologiche, grafiche o matematiche.

Lionel Sharples Penrose è stato uno psichiatra e genetista britannico.
     11 giugno 1898, Londra            -   12 maggio 1972, Londra, Regno Unito

Maurits Cornelis Escher è stato un incisore e grafico olandese.
     17 giugno 1898, Leeuwarden   -   27 marzo 1972, Laren, Paesi Bassi






I contatti di Escher con la comunità scientifica, in particolare quelli che seguirono il suo intervento allo Stedelijk Museum di Amsterdam nel settembre 1954 durante il Congresso Internazionale dei Matematici, giocarono un ruolo importante nella sua progressione verso la rappresentazione di mondi impossibili.

Oltre all'incontro con il matematico canadese H.S.M. Coxeter, questa mostra portò ad un fruttuoso scambio di idee con Roger Penrose, che frequentava la conferenza come studente e fu molto impressionato da quanto esposto da Escher. Opere come Relativity (1953) esercitarono un'influenza determinante sullo sviluppo di figure che possono essere disegnati ma non possono esistere in 3 dimensioni.






Roger Penrose inviò a Escher "Oggetti impossibili: uno speciale tipo di Visual Illusion", un articolo da lui pubblicato con il padre, L.S. Penrose, nel British Journal of Psychology, nel febbraio 1958, che rendeva omaggio ai lavori di Escher.

Escher fu colpito da 2 illustrazioni che accompagnavano la discussione di oggetti impossibili: una rampa di scale che portano verso il basso e verso l'alto, allo stesso tempo e un triangolo impossibile. Ispirato dalle illustrazioni dei Penrose, Escher realizzò 2 famose litografie, Salire e Scendere (1960) e Cascata (1961).






Salire e scendere, Marzo 1960, litografia 285 x 355

L’illusione dei monaci che salgono e scendono in continuazione lungo una scala, forma un percorso chiuso basato su una costruzione paradossale che Escher trovò in un articolo di L.S. Penrose.


Salire e scendere





Cascata, Novembre 1961, litografia 300 x 380

L’acqua della cascata della cascata che mette in moto la ruota del mulino scorre lungo un canale tra 2 torri sino a quando raggiunge un punto in cui cade di nuovo. L’illusione è basata sul triangolo proposto da Roger Penrose, figlio dell’inventore della “scala continua” (Salire e scendere).

Cascata



































Qui di seguito, la lettera inviata da M.C. Escher a L.S. Penrose nel 1961. La litografia a cui fa riferimento Escher è proprio Cascata.


 










lunedì 1 maggio 2017

229. Penrose


Negli anni ’60, mentre era al lavoro su argomenti cosmologici con l’amico Stephen Hawking, Roger Penrose fece importanti scoperte riguardanti i Buchi Neri e la Teoria della Relatività. In seguito ottenne altri importanti risultati nel settore della Teoria dei Giochi (o forse è meglio dire della Geometria), come la tassellazione di Penrose, che permette di ricoprire un piano con 2 tipi di figure in modo aperiodico e che furono inventate (o scoperte) ignorando che potessero avere un’applicazione pratica; ad esempio, che le forme tridimensionali di queste tassellature potevano essere alla base di un nuovo strano tipo di materia. Lo studio di questi “quasi-cristalli” è diventato un’area di ricerca nella moderna cristallografia.
 

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3APenrose_tiling
http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html
http://mathworld.wolfram.com/PentagonTiling.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling
https://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/penrose.htm
https://www.goldennumber.net/penrose-tiling/



In generale esistono solo 3 poligoni regolari che consentono di ricoprire il piano infinito: triangolo equilatero, quadrato ed esagono.




Se invece utilizziamo il pentagono, ci rendiamo conto che resta sempre un’area che non riusciamo a ricoprire. Ma anche se è vero che con i pentagoni non si riesce ad ottenere la copertura del piano, scomponendo il pentagono in figure di 3 o 4 lati, si possono ricavare figure che, prese a coppie, riescono a ricoprire il piano infinito. Se poi si aggiunge la richiesta di soddisfare ad alcune semplici regole, si ottengono disposizioni decisamente inaspettate.
Si è creduto per molto tempo che nessuna figura con simmetria quintupla potesse avere un ordine ripetitivo. Tuttavia, nel 1974, Roger Penrose scoprì 2 schemi di intarsio (per la loro forma chiamati “Kite and Dart” o “Dardo ed Aquilone”) capaci di ricoprire il piano con simmetria quintupla. Si tratta però di schemi non periodici, anche se dotati di una certa regolarità. Gli angoli di questi oggetti geometrici sono tutti multipli di 36 gradi, come nel pentagono regolare e nei triangoli ricavati da quest’ultimo.


  

Pentagono e tasselli di Penrose hanno il rapporto aureophi” presente un po’ ovunque nelle loro componenti; non a caso  phi = 2 * cos 72 = 1.6180339....
Potrete anche notare che nelle varie figure i lati hanno valori differenti, e questo per le proprietà di phi. Ne riporto alcune che ho preso da Wikipedia:



Una delle proprietà più affascinanti di queste tassellature, è che, col crescere dell’area presa in considerazione, il rapporto tra il numero dei Dardi e quello degli Aquiloni tende al solito phi.
Nel 1977 Martin Gardner scrisse un famoso articolo intitolato: Una straordinaria tassellatura non periodica che arricchisce la teoria delle tassellature, per la rubrica “GIOCHI MATEMATICI” de “Le Scienze” da lui gestita per molti anni. Qui di seguito ne viene riportato un estratto.




GIOCHI MATEMATICI

di Martin Gardner

Una straordinaria tassellatura non periodica che arricchisce la teoria delle tassellature

Una tassellatura periodica è una tassellatura in cui si può delimitare una regione che ricopre il piano per traslazione, cioè per spostamento della regione senza rotazione né riflessione. Si pensi di coprire il piano con un foglio di carta trasparente su cui siano segnati i contorni di ogni regione. Solo se la tassellatura è periodica si può spostare il foglio, senza ruotarlo, in una nuova posizione in cui tutti i contorni corrispondono ancora esattamente. Un'infinità di forme, per esempio l'esagono regolare, tassellano il piano solo in modo periodico. Un'infinità di altre forme lo tassellano sia periodicamente che non periodicamente. La figura in basso mostra come una forma detta “sfinge” costituisca una tassellatura non periodica dando luogo a sfingi sempre più ampie.

Anche qui due sfingi (una delle quali ruotata di 180 gradi) costituiscono ovviamente una tassellatura periodica. Ci sono insiemi di tessere di due o più forme differenti che diano luogo solo a tassellature non periodiche? Per «solo» intendiamo che né una singola forma, né un sottoinsieme né l'intero insieme danno luogo a tassellature periodiche ma che, usando tutte le tessere, è possibile ottenere una tassellatura non periodica. Sono permesse rotazioni e riflessioni delle tessere. Per molti decenni gli esperti credettero che un tale insieme non esistesse, ma la supposizione si rivelò inesatta. Nel 1961 Hao Wang cominciò a interessarsi alla tassellatura del piano con insiemi di quadrati unitari i cui spigoli venivano colorati in vari modi, noti come domino di Wang. Nel 1964 Robert Berger, nella sua tesi di dottorato in matematica applicata all'Università di Harvard, dimostrò che non c'è nessuna procedura generale. Esiste quindi un insieme di domino di Wang che tassella solo non periodicamente. Berger costruì un insieme siffatto servendosi di più di 20 000 domino. Più tardi ne trovò uno molto più piccolo di 104 domino. L'anno scorso Raphael M. Robinson ridusse l'insieme a 24 domino. E’ facile trasformare tale insieme di domino di Wang in tessere poligonali che diano luogo solo a tassellature non periodiche. Basta aggiungere delle sporgenze e delle rientranze sugli spigoli in modo da ottenere dei pezzi come quelli dei rompicapo jigsaw che combaciano nella maniera precedentemente imposta dai colori.

Uno spigolo, originariamente di un colore, combacia solo con un altro che originariamente era dello stesso colore; relazioni analoghe si ottengono per gli altri colori. Ammettendo la rotazione e la riflessione di tali tessere, Robinson costruì sei tessere (si veda lo figura in alto) che «inducono la non periodicità» nel senso precedentemente spiegato. All'Università di Oxford, dove è Rouse Bali Professor di matematica, Penrose si diede a ricercare insiemi ancora più piccoli. Sebbene si occupi soprattutto di teoria della relatività e di meccanica Quantistica, continua ad avere per i giochi matematici quel vivo interesse che condivideva con il padre, il genetista l.S. Penrose. (A loro si deve la scoperta della famosa «scala di Penrose» che gira e gira senza salire; Escher la raffigurò nella sua litografia Ascending and Descending.) Nel 1973 Penrose trovò un insieme di sei tessere che riuscì a ridurre a quattro e, nel 1974, a due. Dato che le tessere si prestano a essere utilizzate per rompicapo commerciali, Penrose non volle renderle note finché non chiese il brevetto in Gran Bretagna, negli Stati Uniti e in Giappone. Ora che questi brevetti stanno per arrivare ho avuto il permesso di parlare di queste tessere. A John Horton Conway devo molti risultati derivanti dai suoi studi sulle tessere di Penrose. La forma di una coppia di tessere di Penrose può variare, ma le due forme più interessanti sono quelle che Conway chiama «punte» e «aquiloni».










Nella figura in alto si può vedere come possano essere derivate da un rombo con angoli di 72 e 108 gradi. Si divida la diagonale maggiore secondo il noto rapporto aureo di  1.6180339 ... poi si unisca il punto con gli angoli ottusi. Questo è tutto. Sia phi il rapporto aureo. Ogni segmento di retta è 1 o phi come indicato in figura. Il rombo dà luogo ovviamente a una tassellatura periodica, ma non è consentito unire i pezzi in questa maniera. Si possono proibire per mezzo di sporgenze e tacche certi modi di unire i lati di uguale lunghezza, ma ci sono mezzi più semplici per farlo. Per aiutare a rispettare questa regola si possono mettere negli angoli punti di due colori ma un metodo migliore, proposto da Conway, è disegnare archi circolari di due colori su ogni tessera come si vede rappresentato nel pavimento in figura.


Ogni arco taglia sia i lati sia l'asse di simmetria in modo che le parti staccate siano tra loro in rapporto aureo. La nostra regola sarà che i lati posti vicini devono congiungere archi dello stesso colore. Per apprezzare pienamente la bellezza e il mistero della tassellatura di Penrose, si dovrebbero costruire almeno 100 aquiloni e 60 punte. I pezzi devono essere colorati solo da una parte. Le aree delle due figure stanno tra loro in rapporto aureo e lo stesso vale per il numero dei pezzi di ciascun tipo di cui avete bisogno. Si potrebbe credere di aver bisogno di un numero maggiore di punte, dato che sono più piccole, ma è proprio il contrario. C'è bisogno di 1,6180339... aquiloni per ogni punta. Se usate tessere colorate, tuttavia, sarete colpiti dalla bellezza dei disegni che vengono creati da queste curve. Penrose e Conway hanno dimostrato, uno indipendentemente dall'altro, che, quando una curva è chiusa, ha una simmetria pentagonale e l'intera regione all'interno della curva ha simmetria quintupla. Una struttura può avere al massimo due curve non chiuse. Nella maggior parte delle strutture tutte le curve sono chiuse. Sebbene sia possibile costruire strutture di Penrose con un alto grado di simmetria (un'infinità di strutture ha simmetria bilaterale) la maggior parte delle strutture sono un ingannevole miscuglio di ordine e inaspettate deviazioni dall'ordine. Quando le strutture si espandono sembra che stiano sempre lottando per ripetere se stesse ma che non ci riescano mai del tutto. C'è qualcosa di ancor più sorprendente sugli universi di Penrose. In un curioso senso finito, espresso dal “teorema di isomorfismo locale”, tutte le strutture di Penrose sono simili. Penrose riuscì a dimostrare che ogni regione finita in una struttura è contenuta in qualche posto all'interno di ogni altra struttura. Per di più essa compare un numero infinito di volte in ogni struttura. Per comprendere quanto sia folle questa situazione, si immagini di vivere su un piano infinito ricoperto da una delle più che numerabili tassellature di Penrose. Si può esaminare la struttura pezzo per pezzo, in tutte le aree di espansione, ma non si può mai determinare su quale tassellatura si è, indipendentemente da quanta parte della struttura si è esplorata. Non serve viaggiare in lungo e in largo ed esaminare regioni non connesse, perché tutte le regioni esaminate appartengono a un 'ampia regione finita che è duplicata esattamente un numero infinito di volte su tutte le strutture. Ovviamente questo è banalmente vero per una tassellatura periodica, ma gli universi di Penrose non sono periodici: essi differiscono uno dall'altro in un numero infinito di modi, eppure è solo al limite, che non è ottenibile, che si possono distinguere uno dall'altro. Come ha detto Conway, i due insiemi di tessere sono costituiti dalla medesima sostanza aurea.
Esistono coppie di tessere non basate sul rapporto aureo che inducano una tassellatura non periodica? Esiste un singolo pezzo che dia luogo solo a tassellature non periodiche? Questi sono due tra i più interessanti e difficili problemi aperti nella teoria della tassellatura.