lunedì 28 febbraio 2011

43. Fotoni Solari

I fotoni che vediamo come luce solare in realtà impiegano un periodo di tempo molto lungo per uscire dal Sole. Ogni fotone cambia direzione continuamente (ogni d = ½ cm circa) e per arrivare in superficie, ad una distanza pari al raggio solare Ro = 6.9 x 105 km, il percorso totale P sarà: 
                                   P =  3 Ro2  / d  =  2.9 x 1017 km

che alla velocità della luce impiega circa 30000 anni.
Il percorso e’ assimilabile al “Random Walk” ed ogni fotone, nel suo lungo percorso all’interno del Sole, subisce uno spostamento verso il rosso da fotone X a fotone ottico.

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venerdì 25 febbraio 2011

42. Simmetria Ornamentale


Hermann Weyl, La Simmetria, Feltrinelli, 1975  -  pag.108

“… Vi sono dunque 17 possibili tipi di simmetria, essenzialmente diversi, in un ornamento bidimensionale a rapporto doppio infinito. Si trovano esempi di tutti i 17 gruppi di simmetria tra i motivi decorativi dell’antichità, ed in particolar modo tra i motivi ornamentali egiziani. E’ difficile sopravvalutare la profondità della fantasia e della inventiva geometrica che si rispecchia in questi motivi.
 
La loro struttura e’ tutt’altro che banale in senso matematico; anzi, l’arte dell’ornamento contiene implicitamente il più antico esempio d’alta matematica da noi conosciuto.
Naturalmente, solo nel secolo diciannovesimo si costruirono gli strumenti concettuali per una concreta formulazione astratta del problema che vi stava a base, cioè il concetto matematico di gruppo di trasformazioni; e solo con questo mezzo si può dimostrare che le 17 forme di simmetria, già note implicitamente agli artigiani egizi, esauriscono effettivamente tutti i casi possibili.
E’ piuttosto strano che questa dimostrazione sia stata ottenuta solo nel 1924, da George Polya.
Gli arabi si arrabattarono molto sul numero 5 ma, naturalmente, non riuscirono mai ad inserire onestamente una simmetria centrale di ordine 5 nei loro a rapporto doppio infinito.
  … non esistono più di 17 diversi gruppi ornamentali.”


 

domenica 20 febbraio 2011

41. 17 Cammelli

Uno sceicco lascia in eredità ai suoi 3 figli rispettivamente 1/2, 1/3 e 1/9 dei suoi cammelli con la raccomandazione di non uccidere animali nella spartizione. Ma quando muore lascia 17 cammelli.
Come andranno suddivisi fra i 3 figli i 17 cammelli?

I 3 figli si rivolgono al saggio del villaggio che risolve così la questione: aggiunge 1 cammello per farli diventare 18; a questo punto 1/2, 1/3 e 1/9 di 18 sono rispettivamente 9, 6 e 2, per un totale di 17. Quindi avanza 1 cammello che può essere restituito al suo legittimo proprietario.

Spiegazione: se si fossero rispettate le volontà dello sceicco l’eredità sarebbe stata di 8.5, 5.667 e 1.889; ci sarebbe così stato un residuo di 0.944. Se si continua con la spartizione del residuo e successivamente del residuo del residuo, si ottiene che le 3 serie convergono ancora a 9, 6 e 2.

Un caso più semplice e’ il seguente. Se i cammelli fossero 3 e i figli 2 con percentuali ½ e ¼ , l’eredità sarebbe 1.5 e 0.75 con un residuo 0.75 (cioè 1/4 di 3). Di questo quarto la metà spetta ancora al primo figlio, per cui la serie diventa: 1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 + … = 2/3. Allo stesso modo si può verificare che per il secondo figlio il risultato e’ 1/3.
L’altro modo di effettuare questo calcolo e’: aggiungendo 1 cammello se ne avrebbero 3 + 1 = 4, la cui metà e’ 2 per il primo figlio e il suo quarto 1 per il secondo.

http://utenti.quipo.it/base5/numeri/eredita.htm
http://www-dimat.unipv.it/1/algebra/pillole/17cammelli.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/L'uomo_che_sapeva_contare

sabato 19 febbraio 2011

40. Atomi

Se il nucleo atomico fosse grande quanto una mela, gli elettroni gli ruoterebbero attorno ad una distanza pari a circa un chilometro...
Se una mela diventasse della dimensione della Terra, gli atomi nella mela sarebbero approssimativamente delle dimensioni della mela originale.

http://it.wikipedia.org/wiki/Atomo
http://www.cielidelsud.it/argo/univmano.htm

39. Numeri Trascendenti

Sono Trascendenti i Numeri che non possono essere ottenuti come soluzioni di equazioni algebriche. Ad esempio sono Trascendenti: e, p  e  log 2
Il primo Numero fu “costruito” da Joseph Liouville nel 1844:


dove la k-esima cifra dopo la virgola è 1 se k è un fattoriale e 0 altrimenti.

venerdì 18 febbraio 2011

38. Punti Lagrangiani

Dati 2 corpi nello spazio (es. Terra e Sole) i punti di Lagrange sono 5 posizioni di equilibrio instabile, nei quali può trovarsi un terzo corpo di massa trascurabile.
Questi punti chiamati L1, L2, L3, L4 e L5 sono posizionati come in figura e sono fissi rispetto alla posizione dei corpi maggiori.  In particolare il punto L2 e’ un ottimo punto di osservazione per i telescopi spaziali, in quanto, mascherato dalla Terra, risulta sempre in ombra.

La Terra dista circa 150.000.000 km dal Sole.     La distanza dalla Terra del punto lagrangiano L2  nel sistema Sole-Terra è di 1,500,000 km.

http://it.wikipedia.org/wiki/Punti_di_Lagrange

http://it.wikipedia.org/wiki/Lista_dei_telescopi_spaziali

lunedì 14 febbraio 2011

37. Funzioni Analitiche

Una funzione analitica è una funzione localmente espressa da una serie di potenze convergente.
Le funzioni analitiche possono essere viste come un ponte fra i polinomi e le funzioni generiche. Funzioni di questo tipo sono infinitamente derivabili.
Una funzione è analitica se e solo se, preso comunque un punto appartentente al dominio della funzione, esiste un suo intorno in cui la funzione è uguale alla sua serie di Taylor.

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_analitica

Questo ha come conseguenza che, a partire da un qualsiasi intervallo di una funzione analitica, si può ricostruire l'intera funzione.

Sono funzioni analitiche polinomi, funzioni trigonometriche, ecc.

domenica 13 febbraio 2011

36. Il paradosso di Monty Hall

Nel gioco a premi americano “Let's Make a Deal” erano presenti tre porte.
Dietro due c’erano due capre, mentre dietro la terza un’automobile.
Veniva chiesto al concorrente di scegliere una delle tre porte.
Dopo che il giocatore aveva selezionato una porta, ma non l'aveva ancora aperta, il conduttore dello show, che conosceva dove si trovava l’automobile, apriva una delle altre due, rivelando una delle due capre; quindi offriva al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante.

La domanda e’: cambiare porta migliora le possibilità del giocatore di vincere l'automobile?
Anche se può apparire strano, la risposta è .
Accettare lo scambio significa sostituire la propria condizione iniziale con quella del conduttore.
Quindi, cambiando, le probabilità di successo aumentano da 1/3 a 2/3.
Questo perché il giocatore dopo la prima scelta ha probabilità 1/3 e il conduttore 2/3.    Aprire la porta che sicuramente non nasconde l’automobile, non modifica le condizioni iniziali.

venerdì 11 febbraio 2011

35. Escher - Studio per Stelle




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34. Formula prodotto di Eulero

Il Prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737,


dove il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa importante formula mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi.

Esemplificando il prodotto infinito:


ha lo stesso valore della sommatoria della serie:


Più di un secolo dopo Bernhard Riemann nel 1859 utilizzò questa formula per stabilire una relazione tra i suoi zeri e la distribuzione dei numeri primi -  Ipotesi di Riemann:

le radici non banali si trovano tutte sulla retta descritta dall'equazione s = 1/2 + it , con t numero reale e  i  unità immaginaria.


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giovedì 3 febbraio 2011

33. Partizione di un Numero Intero

Una partizione e' un modo di esprimere un numero come somma di interi positivi.
Il numero di partizioni P(n) per n uguale a 3 e 4 vale:

P(3) = 3 ;       3   :   2+1   :   1+1+1
P(4) = 5 ;       4   :   3+1   :   2+2   :   2+1+1   :   1+1+1+1

Questo numero cresce molto rapidamente con n  (es. P(10) = 42 ):

  n  0 1 2 3 4 5  6  7  8  9 10 11 12  13  14  15  16 
P(n) 1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231
Al contrario di Combinazioni e Permutazioni, non esiste una formula semplice per questa successione; nel 1918 Ramanujan e Hardy pubblicarono una formula asintotica per questa funzione.
       
                 
          
http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione_di_un_intero
http://mathworld.wolfram.com/Partition.html

Recentemente e' stata trovata una relazione tra la distribuzione delle partizioni e i frattali:
http://www.wired.com/wiredscience/2011/01/partition-numbers-fractals/#