martedì 2 agosto 2011

73. Somma di Ipersfere

La costante di Gelfond:         ep = (-1)-i  =  23,14069...  

(già vista in “14. Potenze Complesse”) compariva come settimo problema di Hilbert.
La questione era se fosse o meno un numero trascendente.
In seguito si e' dimostrato che la risposta e’ affermativa (Alexander Gelfond, 1934).

In Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Gelfond viene mostrata la proprietà geometrica, che vale per ipersfere di raggio unitario e dimensione pari:

partendo dalla formula per il calcolo del Volume V2n  in 2n dimensioni

V2n = pn / n!

ricordando lo sviluppo in serie di ex  e sommando su tutti i valori di n, si ha:

S V2n = ep

Più in generale, sostituendo  p  con  p R2   si ottiene:

V2n = pn R2n / n! = ( p R2 )n / n!

S V2n = ep

che indica la somma dei Volumi di tutte le ipersfere di raggio R e dimensione pari.

In modo meno immediato, usando le “belle serie” del doppio fattoriale riportate in:




si può ricavare la serie che contiene come elementi tutte le formule necessarie per il calcolo dei Volumi delle ipersfere di raggio R in ogni dimensione (!!!):
 
 
dove erf rappresenta la funzione degli errori.

Questa relazione può anche essere verificata mediante Solve My Math:


Le prime formule per il calcolo di Vsono ad esempio:




Weisstein, Eric W. "Taylor Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource:
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html
http://mathworld.wolfram.com/UnsolvedProblems.html

23 Problemi di Hilbert (Second International Congress in Paris on August 8, 1900)
http://mathworld.wolfram.com/HilbertsProblems.html
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