martedì 27 settembre 2011

80. Relazione Massa Energia

E = mc2  e’ una delle formule fisiche più conosciute.
Nell’articolo sulla Relatività Speciale "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17, 891–921 (Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento), Albert Einstein ricava la famosa relazione che lega l’energia di un corpo in movimento alla sua massa a riposo e alla sua velocità. Dovendo essere c = costante, le leggi di trasformazione di spazio e tempo, insieme al concetto di simultaneità devono essere modificate (si veda ad esempio il sito di Arrigo Amadori).
Le trasformate che soddisfano le condizioni suddette furono trovate fra '800 e '900 da Poincarè e da Lorentz (ma vengono universalmente attribuite a Lorentz) e formano la base matematica della teoria della Relatività Speciale.
Secondo la meccanica classica un corpo di massa m che si muove con velocità v rispetto ad un sistema di riferimento inerziale possiede una energia cinetica E data dalla formula :


da cui si deduce che se il corpo è in quiete (v = 0) l'energia cinetica di quel corpo è nulla.
Apportando le correzioni relativistiche si ottiene la cosiddetta meccanica relativistica le cui leggi sono invarianti rispetto alle trasformate di Lorentz (mentre le prime lo sono rispetto alle trasformate di Galileo).

L'energia di un corpo di massa m in moto con velocità v in un sistema di riferimento inerziale assume quindi la forma :


In questo caso l’energia cinetica di un corpo in quiete non e’ nulla.

Ponendo   g = (1 - b2) = (1 - v2/c2)      con    b =  v2/c2    si ha:


Tale espressione tende all’infinito quando la velocità v si avvicina alla velocità c della luce. Se si sviluppa in serie di Taylor l’espressione dell’energia cinetica, si ottiene:


In un lavoro successivo di tre sole pagine Einstein ricava la formula E = mc2 , concludendo: “ Da questa equazione segue direttamente che se un corpo emette un’energia L sotto forma di radiazione, la sua massa diminuisce di L/c2. Il fatto che l’energia sottratta al corpo divenga energia di radiazione non e’ essenziale, e la conclusione che se ne trae e’ di portata piu’ generale: la massa di un corpo e’ una misura del suo contenuto di energia.
Dallo sviluppo in serie, oltre al termine mc2 , si ricava in modo naturale la formula che assume l'energia cinetica nella meccanica classica.

Il lavoro intellettuale prodotto da Albert Einstein nel 1905, composto da cinque lavori, si suddivide per gli argomenti affrontati in tre settori:
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Effetto fotoelettrico. Ipotesi dei quanti di luce.
• 17 Marzo - Su un punto di vista euristico relativo alla produzione e trasformazione della luce.

Moto browniano. Esistenza delle molecole.
• 30 Aprile - Una nuova determinazione delle dimensioni molecolari.
Tesi del Dottorato di ricerca (PhD ovvero Philosophical Doctor).
• 11 Maggio - Sul moto di piccole particelle in sospensione nei liquidi a riposo come prescritto dalla teoria cinetico-molecolare del calore.

Teoria della Relatività Speciale.
• 30 Giugno - Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento.
• 27 Settembre - L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?

Il 1905 venne chiamato Annus Mirabilis (dal latino: Anno Meraviglioso).
Quattro articoli verranno pubblicati da Albert Einstein sul giornale scientifico Annalen der Physik.
La Relatività Speciale si sarebbe dovuta chiamare "Teoria dell'invarianza" (Invariantentheorie), fu Max Planck a darle quel nome l'anno seguente.

“… i tentativi andati a vuoto di constatare un moto della terra relativamente al “mezzo luminoso” portano alla supposizione che il concetto di quiete assoluta non solo in meccanica, ma anche in elettrodinamica non corrisponda ad alcuna proprietà dell’esperienza, e che inoltre per tutti i sistemi di coordinate per i quali valgono le equazioni meccaniche debbano valere anche le stesse leggi elettrodinamiche e ottiche, come già e’ dimostrato per le quantità del prim’ordine. Assumeremo questa congettura (il contenuto della quale nel seguito sarà chiamato “principio di relatività”) come postulato, e oltre a questo introdurremo il postulato con questo solo apparentemente incompatibile, che la luce nello spazio vuoto si propaghi sempre con una velocità determinata V, indipendente dallo stato di moto dei corpi emittenti. Questi due postulati bastano a pervenire ad un’elettrodinamica dei corpi in movimento semplice ed esente da contraddizioni, costruita sulla base della teoria di Maxwell per i corpi in quiete.”

A. Einstein, Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento       


martedì 20 settembre 2011

79. P.A.M. Dirac

Paul Adrien Maurice Dirac ( 8 Agosto 1902, Bristol, Inghilterra; 20 Ottobre 1984, Tallahassee, Florida, USA), figlio di Charles Adrien Ladislas Dirac e Florence Hannah Holten 
Charles Dirac era di cittadinanza svizzera, mentre la madre era inglese di Cornwall.
Paul fu il secondo di tre figli, assieme a Reginald Charles Felix Dirac e la sorella minore Beatrice Isabelle Marguerite Walla Dirac. Il padre durante i pasti pretendeva che si parlasse solo in francese; ottenendo come risultato che Paul era l’unico presente nella sala da pranzo con il padre. L’educazione molto rigida segnò significativamente il carattere di Paul e la sua introversione aumentò dopo il suicidio del fratello, che avvenne mentre venivano pubblicati i suoi primi lavori di Meccanica Statistica (Fermi-Dirac).
In seguito, durante una passeggiata in campagna, ebbe l’intuizione che la non commutatività insita nel Principio di Indeterminazione di Heisenberg poteva essere messa in relazione con le Parentesi di Poisson della Meccanica Hamiltoniana.
Nel 1930 Dirac pubblicò  The principles of Quantum Mechanics” e per i risultati esposti in questo lavoro fu insignito del Premio Nobel per la Fisica nel 1933.
Veniva derivata l'equazione che prese il suo nome e che descriveva l'elettrone da un punto di vista relativistico; il tutto partendo dall'invarianza relativistica, sviluppando una teoria di grande semplicità.
Questo permise a Dirac, nel 1930, di predire l'esistenza del positrone, avente la stessa massa e carica dell'elettrone, ma di segno opposto (soluzioni ad energia negativa della sua equazione) e aprì tutta una serie di ricerche sull'esistenza dell'antimateria ed il positrone fu osservato in seguito da Anderson nel 1932, tramite studi sui raggi cosmici. Furono Patrick Blackett e Giuseppe Occhialini a completare la scoperta l'anno successivo, confermando così la previsione teorica.
Introdusse anche la distribuzione nota come delta di Dirac.

Seppur considerato uno scapolo predestinato, nel 1937 si sposò con Margit Wigner, sorella del fisico magiaro Eugene Wigner.

Sono noti diversi aneddoti sulla scarsa socialità di Dirac, alcuni riportati nell’articolo dei Rudi Matematici:

Quasi tutti basati sul fatto che parlava pochissimo e solo per affermare cose incontrovertibili. Al commensale che ad una cena gli rivolse la parola con un “Bella serata, vero?” sembra abbia risposto un laconico “Sì” solo dopo essersi alzato ed essere andato a verificare le condizioni meteorologiche alla finestra.
Altri narrano che tutto il suo vocabolario di lingua “parlata” si limitasse a “Sì”, “No” e “Non lo so”.
Il più celebre e crudele sembra comunque essere l’aneddoto che narra come, alla fine di una lezione, dopo il classico “Ci sono domande?” uno studente abbia avuto la ventura di chiedergli “Non ho capito quel certo passaggio …”, per sentirsi rispondere un glaciale “Questa non è una domanda, è un’affermazione”.

Infine, di seguito e’ riportata l'intervista con Dirac apparsa sul “Journal of Wisconsin State” nell’aprile del 1929:

Intervistatore : “Professore, ho notato che davanti al vostro cognome sono presenti alcune lettere. Hanno qualche significato particolare?”

Dirac : “No”

I : “Quindi posso scrivere a mio piacimento il loro significato?”

D : “Sì”

I : “Va bene anche se scrivo che P.A.M. indica Poincaré Aloysius Mussolini?”

D : “Sì”

I : “Bene, stiamo andando alla grande! Ora dottore può descrivermi in poche parole il significato delle sue ricerche?”

D : “No”

I : “Ottimo, e’ d’accordo se la metto in questo modo: il professor Dirac risolve tutti i problemi della fisica matematica, ma non riesce a trovare il modo migliore di calcolare una battuta di Babe Ruth (giocatore di baseball) ?

D : “Sì”

I : “Cosa le piace maggiormente in America?”

D : “Patate”

I : “Anche a me. Qual’e’ il suo sport preferito?”

D : “Scacchi cinesi”

I : “Va al cinema?”

D : “Sì”

I : “Quando?”

D : “Nel 1920 … e forse anche nel 1930”

I : “Le piacciono i fumetti del Sunday?”

D : “Sì”

I : “Questa e’ una cosa importante, dottore, e mostra che siamo meno differenti di quanto potessi pensare. Ora un’altra domanda: mi dicono che lei e Einstein siete le sole due persone veramente capaci di comprendersi l’un l’altro. Non voglio sapere se questo e’ vero, per quello che so siete troppo modesto per ammetterlo. Ma voglio sapere questo: avete mai incontrato qualcuno che non riuscite a comprendere?”

D : “Sì”

I : “Questo e’ interessante. Può dirmi chi e’?”

D : “Weyl


E con questa risposta terminava l’intervista.


Graham Farmelo, The strangest man, Basic Books, 2009

Francesco La Teana, Vite matematiche, Springer, 2007
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venerdì 9 settembre 2011

78. Geografia

Il fatto che l’Italia sia posizionata in modo obliquo rispetto all’Equatore può trarre in inganno su Longitudine (Meridiani) e Latitudine (Paralleli) di alcune città.
Entro un certo grado di precisione, ad esempio: per andare da Milano a Cagliari si deve viaggiare verso Sud, in quanto le due città si trovano sullo stesso Meridiano, cioè hanno la stessa Longitudine.
La stessa cosa succede per Bolzano, Firenze e Bologna.
Meno intuitivo e’ che anche Palermo e Trieste abbiano quasi la stessa Longitudine e quindi Catania sia nettamente più ad Est di due città che si trovano praticamente sullo stesso Meridiano:  Venezia e Roma.
Anche Catanzaro e Bari hanno ugual Longitudine (che risulta essere la stessa di Vienna).

Per quanto riguarda la Latitudine Roma si trova all’altezza del Gargano, mentre Napoli a quella di Brindisi; questo significa che per andare da Napoli a Foggia si deve andare in direzione Nord-Est.

Uscendo infine dai confini dell’Europa, New York ha la stessa Latitudine di Napoli, mentre Tokyo e Los Angeles sono posizionate più a Sud della Sicilia.

La cartina geografica utilizza una proiezione conica conforme di Lambert che sovrappone un cono alla sfera terrestre, con due paralleli di riferimento che la intersecano. Così facendo viene minimizzata la distorsione derivante dal proiettare superfici tridimensionali su due dimensioni: non c'è distorsione lungo i paralleli di riferimento, mentre la stessa aumenta man mano che ci si allontana da essi.

http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/matcart/tipiprz.htm
http://www.pcn.minambiente.it/GN/
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domenica 4 settembre 2011

77. Petrolio

Nel magazine Oggi Scienza dedicato alla ricerca scientifica italiana e internazionale: http://oggiscienza.wordpress.com/2011/08/30/quanta-energia-consumiamo/
Laura Pulici ha riportato i valori di energia consumati nel 2010, pubblicati a fine giugno nell’ultimo rapporto della BPStatistical Review of World Energy. Risulta che abbiamo consumato una quantità di energia pari a più di 12 miliardi di tonnellate di petrolio equivalente, facendo registrare un aumento del 5,6% rispetto all’anno precedente. Si tratta del più alto incremento dal 1973, l’anno della grande crisi energetica.

I consumi di petrolio nel 2010 sono stati di 4 miliardi di tonnellate o, in modo equivalente, circa 30 miliardi di barili, cioè (tenendo conto che un barile equivale a 42 galloni o 159 litri) 4700 miliardi di litri.
In media vengono consumati 5 barili per persona ogni anno, anche se in realtà per alcuni stati questo valore supera i 20 barili annui per persona.





Armaroli N. e Balzani V., "Energia per l’astronave Terra", Zanichelli, pag. 90, riportano:
“… si puo’ notare che Gli Stati Uniti, pur essendo il terzo Paese produttore di petrolio ed il secondo di gas naturale e carbone, a causa dei loro enormi consumi energetici sono costretti ad importare il 65% del petrolio ed il 16% del gas naturale che usano. Gli Stati Uniti con meno del 5% della popolazione mondiale, consumano oltre un quinto dell’energia primaria mondiale. In Cina, Brasile e (ancor piu’) in India il consumo energetico per abitante e’ ancora molto lontano da quelli occidentali; in Italia e’ moderato, nonostante i diffusi sprechi. Il valore del consumo a persona piu’ elevato si registra in Canada, dove lo stile di vita energivoro nordamericano si accompagna ad un clima particolarmente rigido.”

E’ sempre più determinante il ruolo della Cina, che ha superato gli Stati Uniti, diventando non solo il più grande consumatore di energia al mondo, ma anche il Paese che emette il maggior quantitativo di gas serra.  Oggi il consumo energetico cinese rappresenta il 20,3% di quello mondiale e le emissioni di CO2 hanno superato gli 8,8 milioni di tonnellate, più di un quarto di quelle globali.


Weinstein L. e Adam J.A., "Più o meno quanto", Zanichelli, pag. 183, stimano che bruciando 1 litro di benzina si libera una quantità di energia chimica di 3 x 107 J.
Come curiosità: 1 kg di tritolo (TNT) contiene soltanto 4 x 106 J (10% della benzina). Il tritolo però può liberare l’energia in modo molto più veloce. 

Si può anche stimare che per avere 3 x 107 J sotto forma di energia solare, nell'arco di una giornata mediamente soleggiata, si dovrebbe utilizzare un pannello solare di 10 m2 circa.
Con la stessa energia un automobile percorrerebbe 10 km, un treno 40 km (in questo caso si intende 3 x 107 J per passeggero) e una bicicletta 500 km.

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