martedì 21 maggio 2013

122. Teorema di Pitagora

   Problema:
date 2 figure simili trovare una terza figura, simile alle precedenti, equivalente (con la stessa area) alla somma delle precedenti.
In modo grafico quanto mostrato nella seguente figura:
 
 
La soluzione è più semplice di quello che possa sembrare.
 
Partiamo dall’enunciato del Teorema di Pitagora:
 
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
 



Piergiorgio Odifreddi nel suo libro C’è spazio per tutti

 
mostra una straordinaria forma generale del Teorema di Pitagora:


In un triangolo rettangolo, una figura qualunque costruita sull’ipotenusa è uguale alla somma delle figure simili costruite sui cateti.
 
 
In figura viene mostrato un esempio con alcuni poligoni regolari.
 
 
 
  
Per cui la soluzione è ottenuta facilmente in modo grafico o applicando ad ogni singolo segmento il Teorema di Pitagora.
 


 
E se la figura fosse un frattale?
Per una risposta esaustiva servirebbe una spiegazione approfondita che potete comunque trovare nel sito:
 

venerdì 10 maggio 2013

121. Irrazionale

Da Treccani.it – L’Enciclopedia Italiana

irrazionale agg. [dal lat. irrationalis, comp. di in-2 e rationalis «razionale»]. –

a. Nel linguaggio comune, non dotato di ragione: gli esseri, le creature i.; non conforme a ragione, che non procede o non è dettato da ragione... In particolare, non fondato su ragionamenti validi, non dettato da ragioni logicamente dedotte, e quindi, spesso, illogico: conseguenza, deduzione i.; metodo, sistema irrazionale.
b. Nel linguaggio filosofico, di tutto ciò che non possa essere penetrato, dimostrato o giustificato dalla forza logica del pensiero, o sia comunque estraneo all’attività razionale del pensiero; …
c. In matematica (con sign. che si rifà al gr. ἄλογος, esatto corrispondente del lat. irrationalis), numero i. (o irrazionale s. m.), un numero reale che non può esprimersi come rapporto (lat. ratio) tra due numeri interi primi fra loro; si tratta di un numero decimale illimitato non periodico (cioè con infinite cifre decimali non succedentisi con regolarità), che spesso esprime il rapporto fra due grandezze incommensurabili. In partic., dal punto di vista aritmetico:
numero i. algebrico, che è radice di equazioni algebriche a coefficienti interi (per es. la radice dell’equazione x2 − 2 = 0);
numero i. trascendente, numero irrazionale che non è radice di nessuna di tali equazioni (per es. π, rapporto tra la circonferenza e il suo diametro).

 
In altre parole si ha che l'insieme dei numeri razionali Q è un insieme numerabile, ovvero ha la stessa cardinalità dell'insieme N dei numeri naturali. Invece l'insieme dei numeri reali R è un insieme molto più grande di Q, e infatti non è numerabile, non ha la stessa cardinalità di Q, bensì ha la cosiddetta potenza del continuo.
Chiaramente Q è contenuto in R e i numeri di R \ Q (cioè Reali ma non appartenenti a Q) si dicono irrazionali.

 
Quando si parla di irrazionali, però, ci si limita a quelli maggiormente conosciuti, come le radici delle equazioni algebriche oppure numeri come π, Ф o e .
Qui ci occuperemo del numero di Eulero e, chiamato talvolta numero di Nepero,
usato per indicare il limite (finito), per n → , della successione:  

(1 + 1/n)n

Viene approssimato con:   2,7182818284590452353602874713527 ...

e viene usato come base del logaritmo naturale: loge(x) := ln(x), cioè  ln(e) = 1;

La funzione esponenziale ƒ(x) = ex ha la seguente importante proprietà:

ƒ(x) = ƒ'(x) = ƒ''(x) = ...

ossia il valore della funzione in un punto è uguale al valore di ogni sua derivata in quel punto.
Come detto in precedenza, e  non può essere rappresentato come rapporto tra numeri interi, ma esistono diversi modi di esprimerlo in forme semplici che possono apparire molto “razionali.
Ad esempio come somma della serie:
 
 
Un altro approccio si ottiene mediante l’utilizzo delle frazioni continue, come effettuato da Eulero nel suo magistrale:
 
De fractionibus continuis dissertatio

che può essere visionato nella libreria digitale dedicata al lavoro e alla vita di Leonardo Eulero (1707-1783)  The Euler archive

In matematica, una frazione continua è un'espressione quale:


dove a0 è un intero e tutti gli altri numeri an sono interi positivi. Se i numeratori possono differire dall'unità, l'espressione risultante viene chiamata frazione continua generalizzata. Per evitare confusioni una frazione continua non generalizzata viene anche chiamata frazione continua semplice.


La frazione continua precedente può anche essere rappresentata come:

[ a0 ; a1, a2, a3, a4, … ]

oppure

Ad esempio la frazione continua di  e  in due differenti rappresentazioni:
 

 
Altri sviluppi notevoli sono:
 
 
Ed infine, la notevole semplice regolarita’ che si trova tra le molte frazioni continue trovate da Eulero: