martedì 25 novembre 2014

168. ISS

Domenica sera, 23 novembre, alle 22.01, Samantha Cristoforetti è partita per lo Spazio. Il lancio è avvenuto alla base spaziale russa di Bajkonur nel territorio del Kazakistan dove ha avuto inizio la missione Futura. I tre astronauti dell’equipaggio hanno raggiunto la Stazione Spaziale Internazionale (ISS) a bordo di una navicella Soyuz dopo sei ore e rimarranno in orbita intorno alle Terra per sei mesi.



La Stazione Spaziale è poco più grande di un campo di calcio, posizionata in orbita terrestre bassa. Viene mantenuta ad un'orbita compresa tra i 330 km e i 435 km di altitudine e viaggia ad una velocità media di 27.600 km/h, completando 15,5 orbite al giorno.

Ma vediamo di capire come si colloca un’orbita di questo tipo nell’ambito delle distanze relative alla Terra:

Monte Everest                         8.848 m
Raggio della Terra                  6.378 km
Orbita geostazionaria            42.168 km    (circa 36.000 km dal livello del mare)
Distanza Terra-Luna           384.400 km  

Come si vede le montagne più alte sono dell’ordine del millesimo del raggio terrestre, mentre ISS è posizionata ad una altezza pari al 6,5% di tale raggio.
Infine un’orbita geostazionaria è posizionata molto più distante, a più di 6 volte del raggio terrestre.
Per arrivare alla Luna tale rapporto deve diventare 60.

Tutto questo è riprodotto molto chiaramente in una figura di Wikipedia, dove vengono anche riportate le varie posizioni di satelliti Meteo, GPS, ecc.
 
 
 
 
Nel disegno l’orbita di ISS è posizionata prossima alla superficie della Terra.





http://zibalsc.blogspot.fr/2015/03/181-astro-selfie.html
http://zibalsc.blogspot.it/2014/05/147-terra-luna.html
http://zibalsc.blogspot.it/2014/03/140-koreas-at-night.html

domenica 16 novembre 2014

167. La formula più bella – Allegato 1

Nello scrivere il post precedente molti approfondimenti sono stati volutamente tralasciati per non appesantirne ulteriormente la lettura.
Ne riporterò qui alcuni in ordine sparso.

Gli elementi dell'equazione di campo di Einstein sono i seguenti:


Il fondamento della Relatività Generale è l'assunto, noto come principio di equivalenza, che un'accelerazione sia indistinguibile localmente dagli effetti di un campo gravitazionale.

 
 
 
Quando si legge (o si racconta) la storia della Scienza si rischia di perdere di vista il contesto in cui si sono svolti gli eventi. La teoria della Relatività Generale venne presentata come serie di letture presso l'Accademia Prussiana delle Scienze, a partire dal 25 novembre 1915, dopo una lunga fase di elaborazione. Il contesto in questo caso fu la prima guerra mondiale, il conflitto armato che coinvolse le principali potenze mondiali tra l'estate del 1914 e la fine del 1918. Gli anni che seguirono, con la Repubblica di Weimar (1918-1933), sono stati di una vivacità intellettuale senza precedenti: gli anni della Meccanica Quantistica, dell'espressionismo, della Bauhaus, di Thomas Mann, di Metropolis (Fritz Lang), della psicoanalisi, di Marlene Dietrich e delle ideologie e dei movimenti che sono alla radice della cultura contemporanea. Quello che successe dopo è noto.

Albert Einstein e Thomas Mann
 
 
Berlino, 1921. Un giovane studente di fisica, incuriosito da un cartello che annuncia una conferenza contro la teoria della relatività, compra il biglietto ed entra. La sala da concerto è gremita di persone, gente comune non solo scienziati e studenti; seduto in un palco vede Albert Einstein: «Non so perché egli fosse venuto, ma sembrava divertirsi un mondo a salutare la gente […] a disturbare lo spettacolo con la sua sola presenza». Lo studente è Leopold Infeld che diventerà uno dei collaboratori di Einstein a Princeton; con lui scriverà L'evoluzione della fisica, un piccolo capolavoro di divulgazione scientifica e sarà uno degli undici firmatari del Manifesto di Russell-Einstein per il disarmo nucleare.
Lo spettacolo, invece, è solo una delle tante iniziative promosse da un gruppo di fisici tedeschi volte a screditare l’immagine del grande scienziato.


Georg Alexander Pick (10 Agosto 1859 – 26 Luglio 1942) nel marzo del 1939, dopo l'invasione della Cecoslovacchia, venne deportato e morì nel campo di concentramento di Theresienstadt.

Tullio Levi Civita (Padova, 29 marzo 1873 – Roma, 29 dicembre 1941) nel 1938 fu rimosso dalla carica di ordinario presso l'Università degli Studi di Roma "la Sapienza", dall'ufficio per le discriminazioni razziali (leggi per la difesa della razza) a causa della sua origine ebraica. Morì isolato dal mondo scientifico nel suo appartamento di Roma nel 1941.

Karl Schwarzschild (Francoforte sul Meno, 9 ottobre 1873 – Potsdam, 11 maggio 1916) merita di essere inserito nella cerchia delle persone che hanno contribuito alla scoperta delle teorie della fisica moderna. Nel lustro 1911-1916, indipendentemente da Arnold Sommerfeld, teorizzò le regole generali di quantizzazione e della fisica degli spettri atomici contemporaneamente a Niels Bohr. Trovò una soluzione esatta delle equazioni di campo di Einstein, il cui articolo sulla relatività generale ebbe modo di leggere nel 1915, mentre si trovava al fronte, mantenendosi a stretto contatto con la Scuola di Hilbert a Gottinga. Pur ignorando (come tutti gli scienziati dell'epoca) la vera natura dell'energia stellare, Schwarzschild iniziò a studiarne i meccanismi di produzione e di trasporto energetico: concluse che le stelle non possono generare calore e luce tramite semplici reazioni chimiche, poiché esaurirebbero il loro combustibile in qualche decina di migliaia di anni: si sapeva da tempo che la vita di una stella come il Sole, una stella nana, è di circa 10 miliardi d'anni. Preconizzò, così, tutta la moderna teoria dell'evoluzione stellare (successivamente enunciata da Arthur Eddington nel decennio 1920-1930) esponendo il principio dell'equilibrio radiativo.
Durante questo periodo, dedicandosi alla risoluzione delle equazioni relativistiche di campo scoperte da Einstein, per primo ipotizzò la possibilità di comprimere totalmente la materia entro un raggio sferico limitato da un fattore superiore a 1014, prevedendo in tal modo la possibile esistenza dei buchi neri, e scoprendo la formula che ne definisce le proprietà, cioè la cattura gravitazionale al loro interno di tutte le radiazioni elettromagnetiche incidenti.
 
Pubblicò e divulgò le conclusioni dei suoi studi nella corrispondenza intrattenuta dal fronte con Einstein; il 15 novembre 1915 Albert Einstein scoprì le equazioni di campo della relatività generale, poi stampate sul numero di novembre degli Atti dell'accademia delle scienze prussiana. Allora Schwarzschild rese note le sue soluzioni inviando ad Einstein, il 16 gennaio 1916, un primo articolo nel quale presentava la prima soluzione esatta di quelle equazioni.
 
Nel settembre 1914, iniziata da un mese la prima guerra mondiale, si arruolò volontario e fu spedito nelle retrovie del fronte occidentale, nel Belgio occupato.
Nel 1916 fu trasferito sul fronte orientale contro i Russi ma, gracile com'era, la vita di trincea gli risultò nefasta. Si ammalò gravemente agli inizi del 1916 e morì a Potsdam alcuni mesi dopo. Non aveva ancora compiuto 43 anni.

 

Infine riporto una bella tabella/formulario che potete trovare, insieme ad altre altrettanto interessanti, nel sito:




Nel precedente post si è sottolineato come sia semplice la forma delle equazioni di campo di Einstein nel vuoto (3). Questo risultato non è evidente a priori, si devono infatti effettuare alcuni passaggi, per ricavare l’equazione (2) partendo dalla (1), che consistono nella contrazione degli indici di un tensore (non spiego i passaggi che si possono trovare in molti siti o, meglio ancora, nell’articolo originale di Einstein).
Il simbolo δμν  è il tensore delta di Kronecker, la cui contrazione è la somma dei 4 elementi della diagonale (tutti uguali ad 1).


 

venerdì 14 novembre 2014

166. La formula più bella

Dedicato a chi si occupa di scienza
e di divulgazione scientifica.
 
E’ ricominciato il carnevale della Fisica, anzi addirittura ce ne sono due:

Il (non) carnevale della fisica

e questa è una buona notizia. 
 

Se dovessi scegliere una sola formula, tra le tante che si possono trovare in un libro di Fisica, avrei sicuramente l’imbarazzo della scelta.
Ma dovendo fornire una sola risposta, la scelta sarebbe:

Rµν – ½ gµνR = k Tµν

Questa (a meno della costante cosmologica che verrà tralasciata per semplicità) è l’equazione di campo di Einstein.

L’equazione lega la curvatura dello spazio-tempo al tensore energia-impulso che descrive la densità e il flusso di materia-energia.

I membri dell'equazione sono tensori simmetrici di dimensione 4x4, contenenti quindi 10 componenti indipendenti (sarebbero 16 se non fossero simmetrici) che variano in funzione del punto considerato.

Il membro a sinistra dell'uguaglianza misura la curvatura e la geometria dello spazio-tempo, mentre quello di destra misura la densità e il flusso di materia e energia. L'equazione descrive quindi in che modo la materia "curva" lo spazio-tempo e ne determina la geometria; a sua volta la curvatura dello spazio-tempo “determina” come la materia si muove (geodetiche).

In fisica e matematica esistono grandezze scalari (come temperatura o massa) e grandezze vettoriali (per esempio forza e velocità), però si possono anche definire oggetti geometrici, come i tensori, di ordine superiore: uno scalare è un tensore di ordine zero (senza indici), un vettore è un tensore di ordine 1 (con un indice) e allo stesso modo vengono definiti i tensori di ordine n (con n indici).

Si tratta di un sistema di 10 equazioni differenziali alle derivate parziali non lineare nelle incognite del tensore metrico.

Una volta trovata, la “metrica” si utilizza poi nella equazione geodetica del moto.

In parole più semplici, la distanza (metrica) tra due punti nello spazio-tempo risulta definita dalla distribuzione della materia (e dell’energia); questo ci permette di calcolare il cammino più breve (geodetica) che percorre un corpo in caduta libera od in orbita intorno ad un pianeta.
 

Einstein ebbe a dire che la parte sinistra della equazione è fatta di puro marmo pregiato e rappresenta la geometria dello spazio-tempo, mentre quella destra è fatta di volgare legno e rappresenta l’energia-materia tramite il tensore energia-impulso.

Il motivo di questa affermazione consiste nel fatto che il tensore sulla destra dell’equazione rappresenta in modo impreciso la distribuzione della materia, non tenendo conto della sua reale composizione.

L’importanza della geometria non-euclidea per lo spazio fisico cominciò a chiarirsi dopo la pubblicazione postuma del fondamentale trattato di Bernhard Riemann “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”.

Nella geometria euclidea vale il teorema di Pitagora, cioè utilizzando un sistema di coordinate cartesiane, per la distanza “s” di un punto dall’origine vale s2 = x2 +y2
o se ci si limita a spostamenti molto piccoli (infinitesimi) che si indicano “ds” si ha:

ds2 = dx2 + dy2

La forma più generale per una superficie curva è invece:

ds2  =  g11 dx2 + 2 g12 dx dy + g22 dy2  =  gjk dxj dxk .

Dove le gik , simmetriche in j e k , sono le componenti di un tensore che descrive le proprietà metriche (e quindi il campo gravitazionale) del sistema.

Riemann postulò la validità del teorema di Pitagora nell’infinitamente piccolo.
 

Utilizzando le parole di Einstein:

“Se nella teoria della Relatività Generale esiste un equazione analoga a quella di Poisson, deve trattarsi di un’equazione tensoriale per il tensore gµν del potenziale gravitazionale; il tensore energetico della materia dovrà poi figurare in essa a secondo membro, mentre a primo membro dovrà figurare un tensore differenziale nelle gµν. Dobbiamo ora ricercare tale tensore differenziale, il quale risulta completamente determinato dalle 3 condizioni seguenti:

1)    non deve contenere alcuna derivata delle gµν di ordine superiore al secondo;

2)    deve essere lineare e omogeneo nelle derivate seconde;

3)    la sua divergenza deve essere identicamente nulla.

Le prime 2 condizioni sono tratte naturalmente dall’equazione di Poisson.”
La terza condizione è necessaria per poter soddisfare il principio di conservazione dell’energia.

Dal tensore gµν e dalle sue derivate prime possono essere costruite delle grandezze (connessione affine) che non hanno però le caratteristiche di un tensore in quanto possono essere annullate scegliendo un opportuno sistema di riferimento. Senza entrare troppo nei dettagli, queste rappresentano il campo gravitazionale, che può venire annullato localmente scegliendo un sistema in caduta libera.

Utilizzando anche le derivate seconde Riemann riuscì a ricavare il tensore di curvatura che porta il suo nome.

Anche in questo, come nel caso della meccanica classica, non sono necessarie derivate di ordine superiore.
Come visto nel precedente post: 13. Equazioni del moto
la derivata prima della posizione fornisce la velocità, mentre la sua derivata seconda l’accelerazione e moltiplicando questa per la massa si arriva alla definizione di forza

F = ma

Ora dalla legge di gravitazione universale di Newton che determina la forza esercitata tra due oggetti di massa m1 ed m2 ad una certa distanza R, si riesce a ricavare l’accelerazione con la quale un oggetto modifica il proprio moto a causa di un’altra massa.


E’ infine illuminante come sia semplice la forma delle equazioni di campo di Einstein nel vuoto (che permettono di calcolare i moti di tutti gli oggetti sottoposti ad un campo gravitazionale, come proiettili o pianeti):

Rµν = 0

Credo che sia difficile trovare una formula più elegante di questa.



Per completezza riporto l’equazione di Einstein nelle due versioni e le loro corrispondenti in meccanica classica: equazioni di Poisson e di Laplace.

 

Con visione profetica Riemann scrisse: “Le basi della determinazione metrica devono essere cercate nelle forze di legame che agiscono su di essa”

L’anticipazione di Riemann di una dipendenza della metrica dai dati fisici, sembra sia stata la soluzione logica di un dilemma. Poiché tale curvatura è una proprietà intrinseca dello spazio, ossia può essere determinata da misure geometriche all’interno dello spazio stesso. Le indicazioni di Riemann vennero ignorate dalla maggior parte dei matematici e dei fisici suoi contemporanei. Le sue ricerche sembrarono troppo speculative e teoriche. Il solo che si accostò a Riemann fu il traduttore in inglese delle sue opere, William Kingdon Clifford. Già nel 1870 Clifford aveva visto nella concezione dello spazio di Riemann la possibilità di fondere la geometria con la fisica. Per Riemann la materia era la causa della struttura dello spazio. Clifford invece concepì la materia e il suo moto come una manifestazione del variare della curvatura. Egli suppose che la curvatura riemanniana potesse dare origine a mutamenti nella metrica del campo alla maniera delle onde, causando in tal modo increspature che potevano essere interpretate come movimento della materia.

Per Aristotele lo spazio era un accidente della sostanza; per Clifford la sostanza è un accidente dello spazio.

Ma perché non si giunse subito ad una nuova teoria fisica?
Cosa mancava?

Mancava la teoria della Relatività Ristretta, ma soprattutto la visione successiva di Hermann Minkowski che con l’introduzione dello spazio-tempo come continuo quadridimensionale fornì il corretto ambito in cui sviluppare la nuova teoria.

La gravitazione, come viene interpretata dalla teoria della Relatività Generale, deve essere compresa nella struttura geometrica dello spazio-tempo. Questa fusione rende la teoria in accordo (per definizione) con quanto predetto (e sperimentato) dalla Relatività Ristretta e alla spiegazione dei famosi effetti osservabili: spostamento del perielio di Mercurio, deviazione dei raggi luminosi, ecc.).
 

Il procedimento per giungere alla RG fu molto complesso e durò circa 10 anni. Si basa su una intuizione di Einstein del 1907:  il Principio di Equivalenza.

Questo permette di estendere il principio di relatività a qualsiasi osservatore in moto accelerato e porta alle equazioni che spiegano la precessione del moto del perielio di Mercurio (sebbene utilizzando approssimazioni successive e non la soluzione esatta trovata successivamente da Karl Schwarzschild).

Nel 1911 Einstein viene portato sulla giusta strada da un collega all’università di Praga, Georg Alexander Pick: la geometria di Riemann con i suoi sviluppi successivi dei matematici Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita relativi al calcolo differenziale assoluto.

Tornato in Svizzera ne parla con l’amico e collega Marcel Grossmann e dopo qualche anno riesce a generalizzare l’equazione di Poisson per il potenziale (scalare) gravitazionale a un potenziale tensoriale gravitazionale con 10 elementi indipendenti individuati in funzione delle sorgenti energetiche del campo (il tensore energia-impulso).

Nel frattempo anche David Hilbert presenta equazioni di campo corrette derivandole da un principio variazionale.

Potrei continuare fornendo un esempio di soluzione dell’equazione di Einstein, ma forse è più corretto rimandare alla chiara esposizione di Wikipedia:


Dalla versione inglese di Wikipedia dello stesso argomento:

“The Schwarzschild solution is named in honor of Karl Schwarzschild, who found the exact solution in 1916, a little more than a month after the publication of Einstein's theory of general relativity. It was the first exact solution of the Einstein field equations other than the trivial flat space solution. Schwarzschild died shortly after his paper was published, as a result of a disease he contracted while serving in the German army during World War I.”
 

Aneddoto:

uno dei libri che ho sempre considerato fonte inesauribile per quanto riguarda la Teoria dei Campi ed in particolare della teoria della Relatività Generale e’:

L. D. Landau – E. M. Lifsits, TEORIA DEI CAMPI  (Nuova biblioteca di cultura scientifica)

Al secondo anno di università’ incontrai in metropolitana un ex compagno delle superiori, che, alla vista del libro sopra menzionato che portavo spesso con me, fece l’affermazione:

“vedo che ti sei iscritto alla facoltà di Agraria”

 
Albert Einstein, Il significato della relatività, Ed. Bollati Boringhieri
Albert Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Ed. Bollati Boringhieri
Max Jammer, Storia del concetto di spazio, Ed. Feltrinelli
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, Ed. J.Wiley

http://zibalsc.blogspot.it/2014/03/143-curvatura-e-gravitazione.html
http://zibalsc.blogspot.it/2013/06/123-paradosso-dei-gemelli-bis.html