Conoscete il teorema di Pick? E’ un
teorema di geometria che permette di
calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere.
Malgrado la sua semplicità, al primo approccio lascia sempre un po’ stupiti.
L'area A di un poligono, i cui vertici sono
punti di un reticolo, può essere calcolata tramite la formula:
A = i + p/2
- 1
dove i
rappresenta il numero di punti a coordinate intere interni al poligono, mentre p
il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici
compresi).
Ad esempio, il valore dell’area
rappresentata nella figura (presa dal sito Matem@ticaMente) è 5,5.
Questo pentagono ha infatti un numero di punti interni i = 3 e un numero di punti lungo il perimetro p
= 7, l'area sarà quindi:
A = 3 + 7/2
- 1 = 5,5
Il teorema di Pick è uno dei “secondi” piatti che potete trovare nel libro di Mau appena uscito, insieme ad una trentina di antipasti, primi e dessert: Matematica in pausa pranzo.
Georg Alexander Pick (10 Agosto 1859 – 26 Luglio 1942) nato a
Vienna, è stato un matematico, laureatosi in matematica e fisica all’Università di Vienna nel 1879 (anno di
nascita di Albert Einstein). Dimostrò
il teorema nel 1899. All’età di 82 anni, il 13 luglio 1942 venne deportato nel
campo di concentramento di Theresienstadt dove morì due settimane dopo. Nel
1910, come membro della commissione che avrebbe dovuto nominare i nuovi
professori dell’Università di Praga, Pick indicò anche Einstein, che in seguito
venne prescelto e si trasferì a Praga nei primi mesi del 1911. Durante le
lunghe conversazioni con Einstein, Pick segnalò che gli appropriati algoritmi
per pervenire ad una teoria relativistica della gravitazione, potevano forse
trovarsi nell’opera di Ricci Curbastro.
Tuttavia, il suggerimento di Pick rimase momentaneamente inascoltato da
Einstein, che tornò in seguito sull’argomento quando gli fu riproposto dal
matematico e amico Marcel Grossmann (si
veda Abraham Pais “Sottile è il Signore”).
Vediamo ora
un’applicazione del teorema di Pick.
Prendiamo la retta y = -
x + n e
suddividiamo l’area formata con i 2 assi in n triangoli
come riportato in figura:
Ovviamente, i due triangoli prossimi
agli assi non contengono punti al loro interno, ma solo lungo il perimetro (n
+ 2). E’ anche semplice verificare che gli n
triangoli hanno tutti la stessa area (n
/ 2). Possiamo quindi dimostrare che, per n
primo, tutti i triangoli
contengono lo stesso numero di punti ((n – 1) / 2).
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