George Gamow (Odessa, 1904 – Boulder, 1968), è stato un
fisico, cosmologo e divulgatore scientifico russo naturalizzato statunitense. Fu
un sostenitore della teoria del Big Bang,
e nei suoi lavori predisse l'esistenza della Radiazione cosmica di fondo. Gamow era una persona spiritosa, e
quando con Ralph Alpher scrisse il
fondamentale articolo sulla cosmogenesi, volle aggiungere il nome di Hans Bethe, così l’articolo fu
pubblicato col nome di teoria di Alpher-Bethe-Gamow.
Fu anche un brillante divulgatore scientifico; un suo famoso libro “One, Two, Three...Infinity” inizia
raccontando che gli Ottentotti (popolazione
indigena dell’Africa australe, così chiamata dagli Olandesi) non avevano nel
loro vocabolario nomi per indicare i numeri superiori al 3. Quando qualcuno
chiedeva ad uno di loro quanti figli avesse, e se il numero era maggiore di 3,
l’indigeno rispondeva “tanti”. Più o
meno la stessa cosa succede con l’apprendimento scolastico della Geometria.
Dopo aver definito il punto e la retta si studiano le figure piane (come
quadrati, triangoli e circonferenze), per poi passare ai solidi. Cioè si arriva
a contare fino a 3 dimensioni. Per lo studio di oggetti in spazi di dimensione
superiore, si parla genericamente di iperspazi (con tante dimensioni).
Si è già parlato in precedenti post di
questi argomenti (es.: 154. I (Noti) Solidi Platonici) qui
arriveremo a calcolare gli iper-volumi
di Tetraedri in qualsiasi dimensione. Partiamo dal punto, che oltre a essere definito negli Elementi di Euclide come ciò che non ha parti, ha anche
dimensione zero. Ora prendiamo un secondo punto e congiungiamolo al primo con
un segmento di retta; abbiamo
ottenuto così un ente geometrico con 1 sola dimensione. Prendiamo poi un terzo
punto (esterno alla retta) e colleghiamolo con i 2 precedenti punti; otterremo
così un triangolo con 3 lati e 3
vertici (2 dimensioni). Continuando ad aggiungere punti, si costruisce il tetraedro in 3 dimensioni, e poi 4, 5,
ecc. Il numero di elementi che compongono i vari enti geometrici, hanno una
struttura corrispondente a quella del Triangolo di Tartaglia (o di Pascal):
Nota:
una figura chiusa quadridimensionale è composta di vertici, spigoli, facce, e celle. Un vertice è un
punto dove si incontrano 4 o più spigoli.
Uno spigolo è un segmento dove tre o
più facce si incontrano, e una faccia è un poligono dove si incontrano
due celle. Una cella è l'analogo tridimensionale di una faccia, ed è pertanto un poliedro.
I vari punti verranno sempre addizionati,
posizionandoli in modo tale che, scegliendo 3 punti (vertici) a caso, si
ottengano sempre triangoli equilateri.
In figura è rappresentato un triangolo
equilatero e possiamo pensare di essere partiti con il punto in basso a
sinistra, abbiamo poi aggiunto quello in basso a destra ed infine il punto in
alto. Se congiungiamo il vertice superiore con il centro della base, otteniamo
l’altezza “h” relativa alla base. Il
punto d’incidenza delle 3 altezze viene chiamato baricentro; mentre la distanza tra centro della base e baricentro
viene chiamata apotema. Allo stesso
modo possiamo procedere per la costruzione del tetraedro. L’apotema del triangolo vale 1/3 dell’altezza, mentre
per il tetraedro il rapporto è 1/4.
Più in generale il Teorema di Commandino
stabilisce che:
Il
baricentro dell'ipertetraedro appartiene alle mediane e le divide in parti che
stanno fra loro nel rapporto 1 : n.
Federico Commandino (Urbino, 1509 –
Urbino, 1575) è stato un matematico ed umanista italiano, uno dei maggiori
traduttori delle opere dei grandi matematici dell'antichità.
Le varie altezze si possono calcolare con
semplici passaggi matematici, reiterando il Teorema di Pitagora; ogni volta si
usa lo spigolo come ipotenusa, mentre per cateti si definiscono l’altezza che
dobbiamo ricavare e la distanza vertice/baricentro della base. Facciamo
2 esempi:
1) per calcolare l’altezza di un triangolo equilatero usiamo come
ipotenusa il lato e come “cateto noto” il semilato (che corrisponde alla distanza
vertice/baricentro del lato);
2) l’altezza del tetraedro si calcola utilizzando
come “cateto noto” <l’altezza del triangolo meno il suo apotema> ed essendo
che l’apotema vale 1/3 dell’altezza, il cateto risulta 2/3 di quest’ultima.
Moltiplicandole di volta in volta per i
“volumi” calcolati nei passaggi precedenti e dividendo per (n+1), si ottengono
i volumi delle corrispondenti dimensioni successive:
Questa formula permette di calcolare il Volume di un Ipertetraedro di spigolo s in n dimensioni.
In tabella sono riportate altezze, volumi e apotemi, con spigolo s di valore unitario:
Questa formula permette di calcolare il Volume di un Ipertetraedro di spigolo s in n dimensioni.
In tabella sono riportate altezze, volumi e apotemi, con spigolo s di valore unitario:
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